Nếu a và d là các số nguyên, với d khác không, có thể chứng minh rằng tồn tại các số nguyên duy nhất q và r, sao cho a = qd   +   r và 0   ≤   r   <   | d |. Số q được gọi là thương số, trong khi r được gọi là số dư.

Xem phép chia Euclide để biết bằng chứng về kết quả này và thuật toán chia cho các thuật toán mô tả cách tính số dư.

Số dư, như đã định nghĩa ở trên, được gọi là thời gian số dư dương nhỏ nhất hoặc đơn giản là số dư. [2] Số nguyên a hoặc là bội số của d hoặc nằm trong khoảng giữa các bội số liên tiếp của d, cụ thể là, q⋅d và (q + 1)d (với q dương).

Đôi khi thuận tiện để thực hiện phép chia sao cho a càng gần càng tốt với một bội số của d, nghĩa là chúng ta có thể viết

Trong trường hợp này, s được gọi là số dư có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.[3] Như với thương số và số dư thông thường, k và s được xác định duy nhất ngoại trừ trong trường hợp d = 2n và s = ± n. Đối với ngoại lệ này, chúng ta có,

Một số dư duy nhất có thể thu được trong trường hợp này bằng một số quy ước như luôn lấy giá trị dương của s.